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      數學真的威力無窮嗎?

      ■曹廣福

      數學真的威力無窮嗎?作為一個數學人,提出這樣的問題似乎有點不妥,但的確我們應該理智地看待數學,因為作為促進科技進步的數學從來都是小眾化的。當然,普通人多了解一點數學對工作與生活也不無幫助,但這種了解絕不是知道幾個數學概念和會解答幾道數學題。

      套用一句老話,“數學不是萬能的,但沒數學是萬萬不能的”。這句話既應景,也很有道理。為什么說數學不是萬能的?因為數學難以企及的東西還有很多,比如,數學模型很難預測地震,也難以給風險一個有效的度量方法。不過,沒數學也是萬萬不能的。關于這個問題要從兩個層面來看,一個是個體層面,另一個是社會層面。從個體層面看,懂不懂數學還是有點區別的,這種區別并不在于你是否懂得數學的思維方式。

      那么,什么是數學的思維方式?有人或許會說:“你不就是想說用邏輯思考嘛!”錯,數學并不只講邏輯,有時候甚至會不講道理。數學的思維方式有三個層次:直覺、思辨、邏輯。直覺是基于經驗(發散式)或先天性感悟能力的一種不完全歸納,它的典型表現形式就是猜想,即根據有限的現象猜測一般規律。辨析則是根據猜測進一步尋找佐證,尋找的過程就是多角度試錯的過程,通過試錯(也叫證偽)過程進一步肯定或否認你的猜測。在此基礎上,通過有條理的梳理澄清猜測的真偽,這就是所謂的數學思維。

      概括起來,數學思維是一個從“發散”到“不完全歸納”再到“試錯”最后到“肯定”的過程。它幾乎適用于對任何問題的思考,換句話說,它是一種普適的思維模式。很多人往往停留在不完全歸納階段,所謂“聽風便是雨”指的就是這類人,由于各種原因使得很多人無法完成“試錯”與“肯定”過程。無論是自然界還是社會,這類現象比比皆是。

      上述思維模式是數學思維的初級模式,即使對數學不是很了解的人,只要有一定的感悟力與經驗積累也能做到。而數學思維的高級模式則是抽象與量化模式,這種模式需要在現實與數學的鴻溝上架設一座橋梁,讓你可以通過這座橋梁從現實走進數學,在數學世界里尋找你需要的東西再回到現實中,你尋找的數學便是解決現實問題的利器。建這座橋梁的人不僅要精通數學,也要明了現實中需要解決的問題,他主要的任務不是創造數學,而是運用數學,當然,也有可能在解決問題的過程中發明新的數學。

      從社會層面看,數學是推動社會進步的有力武器,任何科技的進步都離不開數學的推動。關于這個問題無需我說得太多,歷史與現實已經加以證實。

      然而,人們往往誤解了數學的神奇,以為學會數學就可以無敵于天下,甚至有人認為成為數學解題高手就是學會了數學。這都是對數學的誤解。數學好比催化劑,它可以改變化學反應速率但不改變化學平衡。不過,它又不等同于催化劑,因為在化學反應過程中,這種催化劑本身無論是質量還是化學性質都有可能發生改變,這就是新數學的誕生。而新數學的誕生與發展又有可能為未來的科技創造輝煌。

      而分歧往往就在這個時候產生。任正非先生所說的數學之重要是指數學的催化作用,丘成桐先生所說的數學之重要則是數學自身質量與化學性質的改變,或者說數學自身的發展。前者是應用數學或數學應用,后者則是純數學。純數學的產生可能來自現實,也有可能來自數學內部(如康托爾的集合論)。

      可以說,沒有純數學的發展不可能有應用數學與數學應用的輝煌。今天的應用數學有可能是昨天的純數學(如高斯與羅巴切夫斯基的非歐幾何成為相對論的基礎),今天的純數學也有可能成為明天的應用數學。從這個意義上說,一個國家不僅需要面向技術研發的一流應用數學家,更需要養一群“沒用”的純數學家,正是這些“沒用的人”有可能創造未來的輝煌。

      總之,我們應該正確理解國家對數學重視的意義,數學教育的重要性不是增加或減少多少數學知識,而是教什么樣的數學。數學教育的最終目的是教人學會思考并解決問題。

      http://blog.sciencenet.cn/u/gfcao

      《中國科學報》 (2019-09-23 第8版 博客)


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